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Fractales y series financieras

Los métodos estadísticos empleados para el análisis de series financieras pueden no resultar apropiados. Las series financieras son una “caja negra”: la complejidad de su comportamiento las hace azarosas e impredecibles.

El primer paso hacia el buen análisis es asumir que los mercados son turbulentos, y que pequeñas variaciones iniciales pueden producir cambios en el movimiento de los precios finales. Los cambios de tendencia en los precios suceden de esta forma. Un pequeño cambio inesperado, puede producir una gran reacción de los precios en un futuro próximo.

No existe el orden en el mundo que nos rodea, debemos adaptarnos al caos.

Sin embargo, dentro de este caos, existen pautas o fórmulas que permiten determinar el estado final de las series. De esto se ocupa la teoría del caos, que estudia el comportamiento, aparentemente desordenado de los sistemas dinámicos. Busca orden dentro del caos.

Image

Un sistema dinámico es un proceso que sufre una evolución a lo largo del tiempo y puede describirse mediante una norma fija. Un caso particular muy característico son los fractales.

El fractal es un concepto bastante nuevo. Se trata de un objeto geométrico cuya forma es tal que si pudiésemos ampliar con una lupa una parte del mismo, descubriríamos que esa porción posee la misma forma y propiedades que la figura completa (del latín fractus, del verbo frangere, “romper en pedazos”).

Image

Dicho de otra forma, los patrones que se observan en el grafo a cualquier escala temporal mantienen una apariencia similar, se parecen entre sí. Ésta es la propiedad principal de los fractales: la autoafinidad.

Ejemplos típicos son las hojas de los helechos, el brócoli, los caracoles, los copos de nieve, las colmenas de las abejas, las redes fluviales, las costas, los girasoles o los cristales minerales.

Otra característica propia de los fractales es que son especialmente sensibles a pequeños cambios en las condiciones iniciales.

Pues bien, ésta es la idea que subyace bajo las teorías que relacionan las series financieras con los fractales. Los mercados son caóticos e impredecibles, con patrones que se repiten de forma similar y que pueden alterarse muy fácilmente por muy diversas causas.

Figs_rescaleH0_25

Noticias o rumores pueden ejercer una fuerte influencia sobre las series financieras, de tal forma que cambie completamente el futuro comportamiento de las mismas (el famoso “efecto mariposa”).

Estas características que comparten los fractales y las series financieras contradicen los supuestos de normalidad e independencia de rendimientos contenidos en la hipótesis de mercado eficiente, y han dado lugar a una medida como el “coeficiente de Hurst” para determinar la autocorrelación en las series de precios. Esta medida está estrechamente relacionada con la dimensión fractal.

Los fractales tienen una dimensión no entera, comprendida entre 1 y 2, que indica el grado de “rugosidad” de la serie. Si la dimensión fractal de la serie es próxima a 1, esto significa que la serie es menos “rugosa” (más tendencial), podría decirse que tiende a acercarse a una recta. Si por el contrario la dimensión fractal tiende a 2, se acercaría a un plano (menos tendencial).

La dimensión fractal se estima como

D = 2 – H

donde 2 corresponde con la dimensión euclídea, y H es el coeficiente de Hurst que nombrábamos anteriormente.

hurst_fbm

  • Si 0.5<H≤1, la serie es persistente. Esto es, la tendencia se mantendrá a largo plazo. Si la serie tiene una tendencia creciente, continuará siendo creciente, y viceversa.
  • Si 0≤H<0.5, la serie es antipersistente. Es decir, se alternan continuamente tendencias alcistas y bajistas. Un valor alto irá muy probablemente seguido de uno bajo, y al revés.
  • Si H=0.5, la serie está caracterizada por ausencia de autocorrelación y su movimiento es similar a un paseo aleatorio.

El coeficiente de Hurst, H, se define asintóticamente:

Image

donde

formula2

formula3

formula4

formula5

N: número de observaciones

C: constante

Tomando logaritmos, esta expresión equivale a

 formula6

Para la estimación de H, se realizan sucesivas fragmentaciones de longitud n = N, N/2, N/4,… de la muestra de datos, y para cada fragmento se calcula el término An. Una vez se obtienen todos los términos, se realiza la regresión para obtener H.

Image

De esta forma podemos determinar la tendencia de series financieras.

¿Te apetece leer la segunda parte de este post? Fractales y series financieras II

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[…] el coeficiente de Hurst simple que describimos en la primera parte del blog nos encontramos constantemente con el problema de que los coeficientes de las series financieras a […]

Tienes razón en que hay que “buscar orden dentro del caos” en series financieras y la idea de usar fractales en finanzas me parece muy innovadora. Has explicado bien la teoría y con dibujos muy bonitos. Aunque creo que un ejemplo concreto habría sido útil en la última parte de ‘determinación de tendencias’. ¿Estás pensando en implementar algo en un futuro post? Gracias!

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