En muchas ocasiones nos interesa expresar una serie en función de otra, o buscar características comunes de las que podamos extraer conclusiones sobre el comportamiento de algunas de ellas. El vínculo más básico es poder establecer una relación lineal entre las dos series. ¿Cómo podemos hacer esto?

Lo primero que se nos viene a la cabeza cuando queremos saber si dos series mantienen una relación lineal es dibujar una frente a otra y comprobar que obtenemos una recta.

Consideramos las relaciones entre los cruces USDCHF-EURUSD y USDCHF-EURGBP. Estos pares tienen una relación lineal bastante clara. Mirando el gráfico podemos afirmar que cualquiera de las series (EURUSD o EURGBP) las podríamos expresar como una función lineal del USDCHF.

¿Pero quién nos dice que esta relación no es espuria? Podría darse que por azar se comportasen de manera similar a lo largo de la historia, pero que no sea una relación estacionaria. Es más, es fácil pensar que la relación entre EURGBP y USDCHF es casual ya que las divisas que componen un cruce no están contenidas en el otro cruce; sin embargo, para el par EURUSD – USDCHF, se espera que haya una relación estacionaria al contener una misma divisa en los dos cruces. Aquí surge el término de cointegración.

Desde el punto de vista de la economía: se dice que dos series están cointegradas si se mueven conjuntamente a lo largo del tiempo y las diferencias entre ellas son estables. De aquí que la cointegración refleje la presencia de un equilibrio a largo plazo hacia el cual converge el sistema económico a lo largo del tiempo. Las diferencias (o término error) en la ecuación de cointegración se interpretan como el error de desequilibrio para cada punto particular de tiempo.

Siendo más formales: dos series no estacionarias están cointegradas si existe una combinación lineal de esas series que sea estacionaria.

Serie estacionaria

Las series estacionarias son aquéllas en las que la varianza es constante a lo largo del tiempo.

El test de Dickey-Fuller nos permite discriminar si una serie es estacionaria o no. Las tres series que manejamos, USDCHF, EURUSD y EURGBP, son no estacionarias de orden 1, según este test. Esto quiere decir, que si tomamos las primeras diferencias de la series, conseguimos una serie estacionaria, con varianza contante en el tiempo. Es decir,

USDCHF~I(1), EURUSD~I(1), EURGBP~I(1)

Así tenemos la primera condición para saber si las relaciones que veíamos antes son estacionarias o son espurias.

Relación estacionaria: cointegración

Ahora tenemos que crear la regresión lineal entre los pares de cruces y ver si esta combinación lineal es estacionaria:

USDCHF_t = a₁ + b₁ * EURUSD_t + u_t
USDCHF_t = a₂ + b₂ * EURGBP_t + v_t
donde u_t y v_t son los residuos de la estimación de la regresión.

Para conocer si estos pares de variables están cointegrados debemos comprobar que los residuos son estacionarios. Para ello usamos de nuevo el test de Dickey-Fuller y nos asegura lo que ya intuíamos al principio, que USDCHF y EURUSD están cointegradas (ya que u_t es estacionario, u_t~I(0)) y su relación es estacionaria en el tiempo, mientras que USDCHF y EURGBP no lo están y la relación es espuria (v_t~I(d), d>0).