Hay un tema muy importante, que a menudo desconcierta a los nuevos investigadores de las finanzas cuantitativas, y que muchas veces pasamos por alto. ¿Debemos utilizar el rendimiento continuo, en lugar del rendimiento simple?

La respuesta no es sencilla y no se puede generalizar. Pero deberíamos conocer cuáles son las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos y emplear el adecuado cuando sea posible.

El rendimiento clásico que todos conocemos viene definido de la siguiente manera:
siendo P la serie de precios, y cumpliendo que i > j.

Entre los beneficios de utilizar estos retornos, frente a la diferencia de precios, obviamente se encuentra la normalización: creando un marco comparable que permite la evaluación de las relaciones analíticas entre dos o más activos a pesar de que procedan de series de precios de valores desiguales.

La realidad es que para cualquier cálculo de gestión de carteras, estos son los rendimientos que debemos emplear ya que cumplen que el rendimiento de una cartera es la suma ponderada de cada uno de los rendimientos de los activos que la componen.

Estos rendimientos también se deben usar, por ejemplo, cuando calculamos la matriz de covarianzas, de forma que sea mucho más sano nuestro análisis. En realidad siempre que comparemos rendimientos para un mismo periodo de tiempo no nos equivocaremos si usamos los rendimientos simples.

Por su parte, el rendimiento logarítmico, se calcula de la siguiente forma:
Y presenta una gran serie de ventajas tanto conceptual como computacional que debemos tener en cuenta.

En primer lugar, log-normalidad: si asumimos que los precios se distribuyen log-normalmente, entonces log( 1 + r _i ) se distribuye normalmente, lo cual es muy útil ya que muchos teoremas presuponen normalidad. En la realidad veremos que nuestra gran lucha será frente a la modelización de la kurtosis, ya que la suposición no es del todo cierta.

En segundo lugar, la igualdad aproximada a los retornos anteriores cuando los rendimientos son muy pequeños, que es lo común cuando los trades son para una duración muy pequeña.

En tercer lugar, y la característica más importante es que son aditivos en el tiempo. Si recordamos un poco de estadística, sabemos que el producto de variables normalmente distribuidas no es una variable normal. Sin embargo la suma de variables normales no correlacionadas, sí que vuelve a ser una variable normal. De esta forma se reduce gratamente la complejidad algorítmica, ya que se podría aplicar el teorema central del límite.

En cuarto y último lugar, la estabilidad numérica; la adición de pequeñas cantidades es numéricamente fuerte, mientras que la multiplicación de números pequeños está sujeta a desbordamiento aritmético.

En el siguiente gráfico se muestra como difieren las dos formas de cálculo y el error que podemos provocar, que es perfectamente cuantificable.

Para finalizar, vamos a distinguir dos casos comunes en los que por precipitación podemos caer en errores no demasiado importantes, pero que no dejan de ser errores.

1. En el cálculo de la volatilidad, los rendimientos que debemos usar son los logarítmicos. Esto se debe a que son los únicos que son sumables en el tiempo y la volatilidad no deja de ser un “sumatorio”.
2. La asunción de una distribución t-student de retornos logarítmicos no tiene sentido, ya que en ese mismo instante estarías presuponiendo que para una acción dada en algún día, su valor esperado fuera infinito, lo cual de momento es impensable… Este caso es muy extremo, pero cuando se quieren modelar colas más gruesas, conviene emplear rendimientos aritméticos, con el fin de evitar situaciones irreales.

Mis dudas surgieron a partir de este post, espero que os sirva y ¡os haga pensar!