“Cualquier información que pueda servir para predecir el precio de mañana está contenida en el precio de hoy” (la probabilidad de que ocurra un evento únicamente depende del evento anterior).

Un evento puede ser: que tu serie baje (E1), o que suba (E2).

>¿Entonces, puedo saber si mañana ganaré o perderé observando el movimiento de hoy?

Sí, construyendo un diagrama de estados que modelan la probabilidad de transición entre los eventos que has definido.

Donde P es la probabilidad de pasar de un estado (evento) a otro. Para el ejemplo:

• P12 muestra la probabilidad de tener mañana un rendimiento positivo habiendo sido hoy negativo.
• P21 muestra la probabilidad de tener mañana un rendimiento negativo habiendo sido hoy positivo.
• P11 muestra la probabilidad de tener mañana un rendimiento negativo habiendo sido hoy negativo.
• P22 muestra la probabilidad de tener mañana un rendimiento positivo habiendo sido hoy positivo.

>¿Y cómo sabes esas probabilidades?

Puedes observarlas en el pasado. En los últimos 20 años de un fondo de renta variable ocurrió esto:

> Vale, entonces si el rendimiento de hoy ha sido negativo, mañana lo más probable es que sea negativo de nuevo.

Eso es! Si hoy (T0) es negativo y lo expresamos como:

podemos calcular lo que ocurrirá mañana (T1) como:

y 0.6 es la probabilidad de que mañana sea negativo y 0.4 de que mañana sea positivo.

>¿Y dentro de n días?

de forma que D siempre tendrá el primer autovalor = 1 y su autovector asociado será la relación de probabilidad entre E1 y E2 cuando n está en el límite. En este ejemplo, en el infinito, E2 es el doble de probable que E1.

Fíjate que parece como que el sistema se olvide del estado inicial de donde partías.

>Vale, pero ¿por qué P tiene siempre el primer autovalor igual a uno?

Porque es una propiedad de este tipo de matrices de probabilidades de transición, en las cuales sus columnas siempre suman uno.

>¿Y para qué me sirve esto?

Para no mucho, pero puedes agrandar el problema, definiendo más estados que incluyan la información relevante que consideres que modelice tu serie temporal. Yo he elegido el S&P500. He definido 12 estados que caracterizan la magnitud de los rendimientos medidos en desviaciones estándar y he aprendido la matriz de probabilidades de transición P durante 40 años de historia:

Con ella puedes predecir lo que ocurrirá mañana y sabes que cuando pase mucho mucho tiempo el rendimiento estará entre cero y dos desviaciones estándar.

>De forma que has construido tu modelo de S&P500.

Sí y puedo generar tantos S&P500’s como quiera con el mismo patrón de dependencias:
En la imagen cada serie es una realización diferente y a lo mejor alguna, el S&P del futuro.